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2017海南省考备考：三集合容斥公式如何选择

　　容斥原理属于方法驱动型的题型，这一题型有着相对固定的解题方法，只要掌握相应的公式和画图的技巧，这一类题还是比较容易把握的。两集合只有一个公式，相信各位考生能够灵活运用，但是三集合我们介绍了两个常用公式，分别是标准型公式和变形公式，三集合容斥原理用公式法解题时，有考生常常无法根据题目条件选用正确的公式。灿哥今天就和各位考生一起来探讨三集合公式如何选择的问题。

　　我们先来看一下三集合的两个公式分别为：

　　标准型公式：总个数-都不满足的个数=A+B+C-（AB+AC+BC）+ABC

　　变形公式：总个数-都不满足的个数=A+B+C-②-2×③

　　（其中②表示满足两个条件的个数；③表示三个条件都满足的个数）

　　两个公式中共同的部分“A、B、C”分别代表满足条件A、B、C的个数，标准型公式中的“ABC”与变形公式中的“③”,代表的含义是相同的，均表示三个条件都满足的个数，两种写法甚至可以互换。那么两个公式最大的区别就在于，标准型公式中的“AB+AC+BC”与变形公式中的“②”的区别，这两个部分既有联系又有区别。联系在于，这两个部分均表示满足两个条件的个数。区别在于，标准型公式中的“AB”表示同时满足条件AB的个数，且包含同时满足条件ABC的个数，“AC、BC”代表的含义与之类似，也均包含同时满足条件ABC的个数。而变形公式中的“②”只是很抽象、很笼统地表示满足两个条件的个数，且不包含同时满足条件ABC的个数。

　　包不包含“同时满足条件ABC的个数”,在我们选择这两个公式时不是最重要的，最重要的是要看题目给定“满足两个条件的个数”这一条件是很具体还是很抽象：如果题目很“具体地”给了满足某两个条件的个数（如同时满足条件AB的个数、同时满足条件AC的个数、同时满足条件BC的个数），则选用标准型公式；如果题目只是“很笼统、很抽象地”给了满足两个条件的个数，至于是哪两个条件，题目没有明确说明，则选用变形公式。

　　接下来我们就根据这个原则，结合具体例题来选择一下三集合容斥原理的两个公式。

　　【例1】某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（    ）

　　A.1人    B.2人

　　C.3人    D.4人

　　【灿哥开讲】此题中给定的“满足两个条件的个数”是很“具体地”给出的，如“兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人”,分别相当于标准型公式中的“AB、AC、BC”,因此本题选用标准型公式，设“三门课程均未选的有x人”,代入数据，得：

　　50-x=40+36+30-（28+26+24）+20

　　计算采用尾数法，可知x的尾数为2,因此，本题选择B选项。

　　【例2】某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：（    ）

　　A.7人      B.8人

　　C.5人      D.6人

　　【解析】此题中给定的“满足两个条件的个数”是很“具体地”给出的，如“同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人”,以及问题部分“同时报乙、丙职位的人数”,分别相当于标准型公式中的“AB、AC、BC”,因此本题选用标准型公式，设“同时报乙、丙职位的人数x人”,本题中由于“按规定每人至多可投考两个职位”,因此三个职位都报的人数为0,另外，42人既然均是报名人员，至少报了一个职位，或者说这42人中三个职位均未报的人数为0,代入数据，得：

　　42-0=22+16+25-（8+6+x）+0

　　计算采用尾数法，可知x的尾数为7,因此，本题选择A选项。

　　【例3】某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为（    ）。

　　A.75      B.82

　　C.88      D.95

　　【灿哥开讲】此题中给定的“满足两个条件的个数”是很“抽象地”给出的，如“只参加其中两个项目的有13人”,至于是哪两个项目，题目没有说明，因此本题选用变形公式。设“参加该次运动会的总人数为x”,由于本次运动会只有“长跑、跳远和短跑三个项目”,因此x人每人至少参加了其中一个项目，或者说这x人中，三个项目均未参加的人数是0人，代入数据，得：

　　x-0=49+36+28-13-2×9

　　计算采用尾数法，可知x的尾数为2,因此，本题选择B选项。

　　【例4】为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。在该单位的所有职工中，参加合唱活动有189人，参加象棋活动有152人，参加羽毛球活动有135人，参加两种活动的有130人，参加三种活动的有69人，不参加任何一种活动的有44人。该单位的职工人数为（    ）。

　　A.233      B.252

　　C.321      D.520

　　【解析】此题中给定的“满足两个条件的个数”是很“抽象地”给出的，如“参加两种活动的有130人”,至于是哪两种活动，题目没有说明，因此本题选用变形公式。设“该单位的职工人数为x”,代入数据，得：

　　x-44=189+152+135-130-2×69

　　计算采用尾数法，可知x的尾数为2,因此，本题选择B选项。

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（编辑：海南华图）